Question

【题目】设函数

（1）当时，曲线与直线相切，求实数的值；

（2）若函数在[1,3]上存在单调递增区间，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】 m＝﹣2或mln2；（﹣∞，）

【解析】

（1）将a＝0代入f（x），求出f（x）的导数，得到f′（x）＝3，解得x的值，求出切点坐标，代入求出m的值即可；

（2）假设函数f（x）在[1，3]上不存在单调递增区间，必有g（x）≤0，得到关于a的不等式组，解出即可．

（1）当a＝0时，f（x）＝lnx+x2，x∈（0，+∞），

f′（x）2x＞0，

令f′（x）＝3，解得：x＝1或x，

代入f（x）得切点坐标为（1，1），或（，ln2），

将切点坐标代入直线y＝3x+m，解得：m＝﹣2或mln2；

（2）f′（x）2x﹣2a，x∈[1，3]，

设g（x）＝2x2﹣2ax+1，

假设函数f（x）在[1，3]上不存在单调递增区间，必有g（x）≤0，

于是，解得：a，

故要使函数f（x）在[1，3]上存在单调递增区间，

则a的范围是（﹣∞，）．