Question

【题目】已知数列满足， ，其中， ， 为非零常数.

（1）若， ，求证： 为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）若数列是公差不等于零的等差数列.

①求实数， 的值；

②数列的前项和构成数列，从中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首项为的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）①， ， .②， ，

【解析】试题分析：（1）利用等比数列定义证明，即寻找与比例关系：利用 代入化简可得.最后说明各项非零.（2）①令，2，3，根据等差数列性质得 ，列出关于， 的二元一次方程组，解得， 的值；再验证满足题意. ②先求数列的前项和，再讨论四项奇偶性：三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.将奇偶性代入化简讨论，直至确定.

试题解析：解：（1）当， 时， ，

.

又，不然，这与矛盾，

为2为首项，3为公比的等比数列，

， .

（2）①设 ，

由得 ，

，

对任意恒成立.

令，2，3，解得， ， ， .

经检验，满足题意.

综上， ， ， .

②由①知.

设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.

1°若三个奇数一个偶数，设， ， ， 是满足条件的四项，

则 ，

，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去.

2°若一个奇数三个偶数，设， ， ， 是满足条件的四项，

则 ， .

由504为偶数知， ， ， 中一个偶数两个奇数或者三个偶数.

1）若， ， 中一个偶数两个奇数，不妨设， ， ，

则 ，这与251为奇数矛盾.

2）若， ， 均为偶数，不妨设， ， ，

则，继续奇偶分析知， ， 中两奇数一个偶数，

不妨设， ， ，则 .

因为， 均为偶数，所以为奇数，不妨设，

当时， ， ，检验得， ， ，

当时， ， ，检验得， ， ，

当时， ， ，检验得， ， ，

即， ， ， 或者， ， ， 或者， ， ， 满足条件，

综上所述， ， ， 为全部满足条件的四元子列.