Question

【题目】已知函数f（x）=2sin（ ﹣φ）（0＜φ＜ ）的图象经过点（0，﹣1）．
（1）求函数f（x）的对称轴方程及相邻两条对称轴间的距离d；
（2）设α、β∈[0， ]，f（3α+ ）= ，f（3β+2π）= ，求cos（α+β）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=2sin（ ﹣φ）的图象经过点（0，﹣1），

∴2sin（﹣φ）=﹣1，∴sinφ= ；

又0＜φ＜ ，

∴φ= ；

∴函数f（x）=2sin（ ﹣ ）；

令 ﹣ =kπ+ ，k∈Z，

解得x=3kπ+2π，k∈Z，

∴f（x）图象的对称轴方程是x=3kπ+2π，k∈Z；

且相邻两条对称轴间的距离d=（3π+2π）﹣2π=3π

（2）解：由α、β∈[0， ]，f（3α+ ）=2sinα= ，

∴sinα= ，cosα= ；

f（3β+2π）=2sin（β+ ）=2cosβ= ，

∴cosβ= ，sinβ= ；

∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ= × ﹣ × =

【解析】（1）根据题意求出函数f（x）的解析式，利用正弦函数的图象性质求出f（x）图象的对称轴方程以及相邻两条对称轴间的距离d；（2）由题意求出sinα、cosα和cosβ、sinβ的值，再计算cos（α+β）的值．