Question

已知函数f(x)=ex-

1

ex

，g(x)=ex+

1

ex

，动直线x=t分别与函数y=f（x）、y=g（x）的图象分别交于点A（t，f（t））、B（t，g（t）），在点A处作函数y=f（x）的图象的切线，记为直线l₁，在点B处作函数y=g（x）的图象的切线，记为直线l₂．
（Ⅰ）证明：不论t取何实数值，直线l₁与l₂恒相交；
（Ⅱ）若直线l₁与l₂相交于点P，试求点P到直线AB的距离；
（Ⅲ）当t＜0时，试讨论△PAB何时为锐角三角形？直角三角形？钝角三角形？

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出两个函数的导数，即得切线的斜率，令这两条切线的斜率相等，此方程无解，故这两条切线的斜率一定不相等，得到直线l₁与l₂恒相交．
（Ⅱ）用点斜式求得直线l₁和直线l₂的方程，求得交点P的横坐标满足x-t=1，又直线AB方程为x=t，直线AB垂直x轴，
故点P到直线AB的距离为 1．
（Ⅲ）利用两个向量的数量积的定义、数量积公式可得∠B恒为锐角，且∠A恒为锐角，令

PA

•

PB

 分别小于0、等于
0、小于0，求出对应的t值，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=ex+

1

ex

=g(x)，g′(x)=ex-

1

ex

=f(x)，
∴直线l₁的斜率k1=f′(t)=et+

1

et

，直线l₂的斜率k2=g′(t)=et-

1

et

，
令k₁=k₂，得

2

et

=0，此方程没有实数解，∴不论t取何实数值，直线l₁与l₂恒相交．
（Ⅱ）直线l₁的方程为：y=f（t）+g（t）（x-t），…①
直线l₂的方程为：y=g（t）+f（t）（x-t），…②
由①、②得：（g（t）-f（t））（x-t-1）=0．
∵g(t)-f(t)=

2

et

＞0，∴x-t=1，又∵直线AB方程为x=t，直线AB垂直x轴，∴点P到直线AB的距离为1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可求得P（t+1，2e^t），
①∵

BP

=(1，et-

1

et

)，

BA

=(0，-

2

et

)，
∴

BP

•

BA

=-

2

et

(et-

1

et

)=-

2

et

e2t-1

et

，
∵t＜0，e^2t＜1，∴

BP

•

BA

=-

2

et

(et-

1

et

)=-

2

et

e2t-1

et

＞0，
又∵

BP

•

BA

=|

BP

||

BA

|cos∠B，
∴cos∠B＞0，∠B恒为锐角．
②∵

AP

=(1，et+

1

et

)，

AB

=(0，

2

et

)，
∴

AP

•

AB

=

2

et

(et+

1

et

)＞0，
∴不论t取何值，∠A恒为锐角．
③∵

PA

=(-1，-et-

1

et

)，

PB

=(-1，-et+

1

et

)，∴

PA

•

PB

=1+e2t-

1

e2t

．
令

PA

•

PB

=1+e2t-

1

e2t

＞0，得（e^2t）²+e^2t-1＞0，(e2t-

-1- 5

2

)(e2t-

-1+ 5

2

)＞0，
e2t-

-1+ 5

2

＞0，

1

2

ln

-1+ 5

2

＜t＜0．
又∵

PA

•

PB

=|

PA

||

PB

|cos∠P，∴cos∠P＞0，∠P为锐角．
令

PA

•

PB

=1+e2t-

1

e2t

=0，得e2t-

-1+ 5

2

=0，t=

1

2

ln

-1+ 5

2

＜0，
此时，cos∠P=0，∠P为直角；
令

PA

•

PB

=1+e2t-

1

e2t

＜0，得（e^2t）²+e^2t-1＜0，(e2t-

-1- 5

2

)(e2t-

-1+ 5

2

)＜0，
 e2t-

-1+ 5

2

＜0，t＜

1

2

ln

-1+ 5

2

，此时，cos∠P＜0，∠P为钝角．
综合①②③得：当t＜

1

2

ln

-1+ 5

2

时，△PAB为钝角三角形；
当t=

1

2

ln

-1+ 5

2

时，△PAB为直角三角形；
当

1

2

ln

-1+ 5

2

＜t＜0时，△PAB为锐角三角形．

点评：本题考查导数的几何意义，点到直线的距离公式，两个向量的数量积的定义，数量积公式，三角形形状的判定，体现了分类讨论的数学思想．