Question

（2013•淄博一模）在区间[1，5]和[2，6]内分别取一个数，记为a和b，则方程

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＜b）表示离心率小于

5

的双曲线的概率为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  15

  32

• C．

  17

  32

• D．

  31

  32

Answer 1

分析：当方程

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＜b）表示焦点在x轴上且离心率小于

5

的双曲线时，计算出（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，6]分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解即可．

解答：解：∵方程

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＜b）表示离心率小于

5

的双曲线，
∴

a2+b2

a

＜

5

，
∴2a＞b，
∴b＞a＞0，2a＞b．
它对应的平面区域如图中阴影部分所示：
则方程

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＜b）表示离心率小于

5

的双曲线的概率为：
P=

S阴影

S矩形

=

4×4- 1 2 ×4×2- 1 2 ×3×3

4×4

=

15

32

，
故选B．

点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．