Question

已知函数f（x）=x²+（x-1）|x-a|．
（1）若a=-1，解方程f（x）=1；
（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得g（x）=f（x）-x|x|在R上是奇函数或是偶函数？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当a=-1时，f(x)=

2x2-1， x≥-1 1， x＜-1

，分当x≥-1时和当x＜-1时两种情况，分别求得方程f（x）=1的解．
（2）根据f(x)=

2x2-(a+1)x+a，  x≥a (a+1)x-a，x＜a

，若f（x）在R上单调递增，则有

a+1 4 ≤a a+1＞0

，由此解得a的范围．
（3）根据g（x）=x²+（x-1）|x+a|-x|x|，g（1）=0，g（-1）=2-2|a-1|，若存在实数a，使得g（x）在R上是奇函数或是偶函数，则必有g（-1）=g（-1），由此求得a的值，检验可得结论．

解答：解：（1）当a=-1时，f（x）=x²+（x-1）|x+1|，
故有，f(x)=

2x2-1， x≥-1 1， x＜-1

，
当x≥-1时，由f（x）=1，有2x²-1=1，解得x=1，或x=-1．
当x＜-1时，f（x）=1恒成立，
∴方程的解集为{x|x≤-1或x=1}．
（2）f(x)=

2x2-(a+1)x+a，  x≥a (a+1)x-a，x＜a

，
若f（x）在R上单调递增，
则有

a+1 4 ≤a a+1＞0

，解得，a≥

1

3

．
∴当a≥

1

3

时，f（x）在R上单调递增．
（3）g（x）=x²+（x-1）|x+a|-x|x|，
∵g（1）=0，g（-1）=2-2|a-1|，
若存在实数a，使得g（x）在R上是奇函数或是偶函数，
则必有g（-1）=0，
∴2-2|a-1|=0，∴a=0，或a=2．
①若a=0，则g（x）=x²+（x-1）|x|-x|x|=x²-|x|，
∴g（-x）=g（x）对x∈R恒成立，∴g（x）为偶函数．
②若a=2，则g（x）=x²+（x-1）|x+2|-x|x|，
∴g（2）=4，g（-2）=8，∴g（-2）≠g（2）且g（-2）≠-g（2），
∴g（x）为非奇非偶函数，
∴当a=0时，g（x）为偶函数；当a≠0时，g（x）为非奇非偶函数．

点评：本题主要考查函数的单调性、奇偶性的判断和证明，属于中档题．