Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）若a=-1，求函数f（x）的单调区间并比较f（x）与f（1）的大小关系
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[f′(x)+

m

2

]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=-1时，求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，可得单调区间，根据最值情况可比较f（x）与f（1）的大小关系；
（2）由函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，可求出a值，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）在区间（t，3）上总不单调，则g（x）在区间（t，3）内总存在极值点，由此可得到关于m的约束条件，解出即可．

解答：解：（1）当a=-1时，f′(x)=

(x-1)

x

(x＞0)，
解f'（x）＞0，得x∈（1，+∞）；解f'（x）＜0得x∈（0，1），
所以，f（x）的单调增区间为（1，+∞），减区间为（0，1），
可知f（x）_min=f（1），所以f（x）≥f（1）．
（2）∵f′(x)=

a(1-x)

x

(x＞0)，函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，
∴f′(2)=-

a

2

=1，得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3，
∴g(x)=x3+(

m

2

+2)x2-2x，∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2，
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2，∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

，
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g'（t）＜0恒成立，
所以有，

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，解得-

37

3

＜m＜-9．
故m的取值范围为（-

37

3

，-9）．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性以及恒成立问题，考查分析问题解决问题的能力．