Question

【题目】如图,在三棱柱中,⊥底面，底面为等边三角形，,, ,分别为, 的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成二面角的余弦值；

（3）设平面与平面的交线为求证：与平面不平行.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）法一：取中点，连接，证明四边形为平行四边形，所以,即可证明；法二：取中点，连接，则,因为为平行四边形，所以,证明平面平面延长交于点，连接,在中，为的中点，所以,

（2）求出平面A1EC的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出平面A1EC与平面ABC所成二面角的余弦值．

（3）法一：反证法，推得，与相交矛盾；法二：延长交于点，连接，得到两平面的交线,，所以与平面不平行.

（1）证法1：

取中点，连接，则且，又且

所以四边形为平行四边形，所以,

又平面 平面,

所以平面 .

证法2：取中点，连接，则,

因为为平行四边形，所以，,

所以平面平面,

所以平面,

证法3：延长交于点，连接,

在中，为的中点，所以,

又平面 平面,

所以平面.

（2）因为底面，,

所以底面,

又三角形为等边三角形，为中点，所以,

以为原点，建立如图所示所示的坐标系,

则，，，,

，,

设平面的法向量为，则,

令，则， ,

易知平面的一个法向量为 ,

则 ,

由图可知，所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

（3）方法1：

假设与平面平行,

因为平面，平面平面，所以,

同理,

所以，与相交矛盾,

所以与平面不平行.

方法2：延长交于点，连接，则就是直线,

，所以与平面不平行.