Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆:和圆:

(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C₁截得的弦长为2，求直线l的方程；
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

(1) 直线的方程为或;(2) 点或点.

试题分析：在解决与圆相关的弦长问题时，一般有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．
（1）直线过点，故可以设出直线的点斜式方程，又由直线被圆截得的弦长为，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率的方程，解方程求出值，可求直线的方程．
（2）与（1）相同，设出过点的直线与的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，得到一个关于直线斜率的方程，解方程求出值，代入即得直线与的方程．
试题解析：(1)由于直线与圆不相交，所以直线的斜率存在，设直线的方程为，圆的圆心到直线的距离为，
因为直线被圆截得的弦长为，
，
即或，
所以直线的方程为或   （5分）
(2)设点满足条件，不妨设直线的方程为，
则直线的方程为，因为和的半径相等，及直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，所以圆的圆心到直线的距离和圆的圆心到直线的距离相等，
即   （8分）
整理得：即，因为的取值有无穷多个，
所以   （12分）
解得
这样点只可能是点或点.
经检验点和满足题目条件．   （14分）