Question

设f(x)=

x

a(x+2)

，方程f（x）=x有唯一解，已知f（x_n）=x_n+1（n∈N₊），且f(x1)=

1

1005

．
（Ⅰ）求证：数列{

1

xn

}为等差数列，并求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）若an=

4-4017xn

xn

，且bn=

a 2 n+1 + a 2 n

2an+1an

（n∈N₊），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）=x变形为 x=0或

1

a(x+2)

=1，解得a=

1

2

，故f(x)=

2x

x+2

，xn+1=

2xn

xn+2

，由此能证明数列{

1

xn

}为等差数列，并能求出数列{x_n}的通项公式．
（Ⅱ）由an=

4-4017xn

xn

=2n-1，得bn=

a 2 n+1 + a 2 n

2an+1an

=

1

2

(

2n+1

2n-1

+

2n-1

2n+1

)=1+1(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：（本小题满分12分）
（Ⅰ）f（x）=x变形为 x=0或

1

a(x+2)

=1，
∴

1

a(x+2)

=1的解为x=0
解得：a=

1

2

，
∴f(x)=

2x

x+2

…（2分）
f（x_n）=x_n+1，即xn+1=

2xn

xn+2

，
∴

1

xn+1

=

1

xn

+

1

2

，
∴{

1

xn

}为公差为

1

2

的等差数列，…（4分）
∴

1

xn

=

1

x1

+(n-1)

1

2

=

n+2008

2

，
∴xn=

2

n+2008

…（6分）
（Ⅱ）an=

4-4017xn

xn

=2n-1…（7分）
bn=

a 2 n+1 + a 2 n

2an+1an

=

1

2

(

2n+1

2n-1

+

2n-1

2n+1

)=1+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（10分）
∴sn=n+(1-

1

2n+1

)=n+1-

1

2n+1

．…（12分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．