Question

【题目】已知函数f（x）是偶函数，f（x+1）是奇函数，且对任意的x1 ， x2∈[0，1]，且x1≠x2 ， 都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，设a=f（ ），b=﹣f（ ），c=f（ ），则下列结论正确的是（ ）
A.a＞b＞c
B.b＞a＞c
C.b＞c＞a
D.c＞a＞b

Answer 1

【答案】B
【解析】解：根据题意，f（x+1）是奇函数，则函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，

则有f（﹣x）=﹣f（2+x），

又由函数f（x）是偶函数，则f（x）=f（﹣x），

则f（x）=﹣f（2+x），

则有f（x）=f（x+4），即函数f（x）的周期为4，

则a=f（ ）=f（﹣ ）=f（ ），b=﹣f（ ）=f（ ）=f（﹣ ）=f（ ），

c=f（ ）=f（﹣ ）=f（ ），

对任意的x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，

即函数f（x）在区间[0，1]上为减函数，

又由 ＞ ＞ ，

则有b＞a＞c；

故选：B．

【考点精析】掌握奇偶性与单调性的综合是解答本题的根本，需要知道奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．