Question

已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线L：mx-y+1-m=0
（1）求证：对任意m∈R，直线L与圆C总有两个不同的交点；
（2）设L与圆C交与A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（3）P（1，1）为弦AB上点，且

|AP|

|PB|

=

1

2

，求此时L的方程．

Answer 1

分析：（1）将直线l的方程变形提出m，根据直线方程的斜截式，求出直线恒过点（1，1），将（1，1）代入圆方程的左边，判断出点在圆内部，得证．
（2）将直线l的方程与圆的方程联立，利用韦达定理得到两个交点坐标的和，利用中点坐标公式求出AB的中点，消去m得到弦AB的中点M的轨迹方程；
（3）作出辅助线，利用圆的弦割线定理求出PA的长，求出A的坐标，又直线过（1，0）点，利用直线方程的两点式写出直线的方程．

解答：解：（1）∵直线L：mx-y+1-m=0即为y=m（x-1）+1
∴直线l恒过（1，1）
∵1²+（1-1）²=1＜5
∴（1，1）在圆C：x²+（y-1）²=5的内部
综上，对任意的m∈R，直线L与圆C一定有两个不同的交点
（2）圆C：x²+（y-1）²=5  ①
直线l：mx-y+1-m=0②
联立①②得
（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0
∴x1+x2=

2m2

1+m2

，y1+y2=

2(m2- m+1)

1+m2

设弦AB的中点M为（x，y）则有

x= m2 1+m2 y=  (m2- m+1) 1+m2

则y=1-

m

1+m2

，
∴

m

1+m2

=1-y，

m2

1+m2

=x两式相除得，m=

x

1-y

代入第一式即消去m得到x²+y²-x-2y+1=0
故弦AB的中点M的轨迹方程为x²+y²-x-2y+1=0
（3）∵直线l：mx-y+1-m=0，y-1=m（x-1），
∴直线l过定点（1，1）．
作平行于x轴，且过圆心（0，1）的直线，交圆于MN两点，
显然，PM=

5

-1，PN=

5

+1，
由弦割线定理，

PM

PA

=

PB

PN

，即PA•PB=PA•2PA=2PA²=PM•PN=(

5

-1)•(

5

+1)=4
∴PA²=2．
∵PA²=（x-1）²+（y-1）²=2，
又因为A点在圆上，A点坐标满足圆方程x²+（y-1）²=5，
联立方程组，解得，
x=2，
代入解得，y=0或2，
∴A（2，0）或A（2，2）．
由两点确定直线，得，
y-1=

0-1

2-1

•（x-1）=-（x-1），得y+x-2=0直线一条；
y-1=

2-1

2-1

•（x-1）=x-1，得，y=x另一条直线．
∴此时L的方程为y+x-2=0或y=x

点评：判断直线与圆的位置关系，一般利用圆心与直线的距离与半径的大小关系加以判断，有时也可转化为直线恒过的点圆圆的位置关系；解决直线与圆的相交的弦的中点问题，一般将直线与圆的方程联立，利用韦达定理．