Question

【题目】如图，在四棱锥中，PA⊥底面ABCD,AD||BC,AD⊥CD，BC=2，AD=CD=1，M是PB的中点．

（1）求证：AM||平面PCD；

（2）求证：平面ACM⊥平面PAB；

（3）若PC与平面ACM所成角为30°，求PA的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析.

(2)见解析.

(3) .

【解析】分析：(1)利用向量法证明即得AM||平面PCD.(2)利用向量法证明，即得平面ACM⊥平面PAB.(3)利用向量法解答，根据PC与平面ACM所成角为30°得到关于关于a的方程，解方程得到a的值，再求PA的长.

详解：（1）如图以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,

A（1，1，0）,B（0，2，0）,C（0，0，0）,D（1，0，0）,P（1，1，a）(a>0)

M（）,=（1，1，a）,=（1，0，0）

设平面PCD法向量为,

令，则=（0，a，-1）,

所以,

所以AM||平面PCD

（2）=（1，1，0），,设平面ACM法向量为，

令，则，

（0，0，a）,=（-1，1，0）设平面PAB法向量为,

令，则=（1，1，0）,

所以.

所以平面ACM⊥平面PAB .

（3）由题得=（1，1，a）,

所以

解得 ，所以PA的长为 .