Question

已知圆：，点，直线.
 
(1)求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；
（2）在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上的任一点，都有为一常数，试求出所有满足条件的点的坐标.

Answer 1

（1）（2）见解析

试题分析：（1）根据所求直线与已知直线垂直,可设出直线方程,再根据直线与圆相切,所以有(其中表示圆心到直线的距离),可得到直线方程;
（2）方法一:假设存在这样的点,由于的位置不定,所以首先考虑特殊位置,①为圆与轴左交点或②为圆与轴右交点这两种情况,由于对于圆上的任一点，都有为一常数,所以①②两种情况下的相等, 可得到,然后证明在一般的下, 为一常数.
方法二:设出,根据对于圆上的任一点，都有为一常数,设出以及该常数,通过,代入的坐标化简,转化为恒成立问题求解.
试题解析：（1）已知直线变形为为，因为所求直线与已知直线垂直，
所以设所求直线方程为，即.
由直线与圆相切，可知，其中表示圆心到直线的距离，
则，得，故所求直线方程为. 
（2）假设存在这样的点，
当为圆与轴左交点时，，
当为圆与轴右交点时，
依题意，，解得（舍去），或.
下面证明：点对于圆上任一点，都有为一常数.
设，则.
，
从而为常数.
方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，
设于是，由于在圆上,所以,代入得，
，
即对恒成立，
所以 ，解得或（舍去），
故存在点对于圆上任一点，都有为一常数.