Question

椭圆的一个焦点是F（1，0），已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知Q（x，y）为椭圆上任意一点，求以Q为切点，椭圆的切线方程．
（3）设点P为直线x=4上一动点，过P作椭圆两条切线PA，PB，求证直线AB过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由题意可得，△EFG为边长是，高为c=1的等边三角形．利用三角函数知识得出，从而求得a值，最后写出椭圆的标准方程；
（2）设以Q为切点的切线方程的斜率为k，再分类讨论：
①若y＞0，设，利用导数的几何求得切线的斜率进而得出切线方程；
②若y＜0，设，同理可得切线方程为；
③若y=0，则Q（2，0），切线方程为x=2，亦满足，综上所述，得出切线方程．
（3）设点P（4，t），切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（2）可知两切线方程PA，PB的方程，同去利用P点在切线PA，PB上，得到为AB的直线方程，从而问题解决．
解答：解：（1）由题意可得，△EFG为边长是，高为c=1的等边三角形．
，故，而c=1，所以
椭圆的标准方程为（3分）
（2）设以Q为切点的切线方程的斜率为k，
①若y＞0，设，
则，
由于Q（x，y）在椭圆上，故，
即∴
此时切线方程为，整理得：
将代入，得（6分）
②若y＜0，设，
则，
由于Q（x，y）在椭圆上，故，
即∴
于是与①同理可得切线方程为（8分）
③若y=0，则Q（2，0），切线方程为x=2，亦满足
综上所述，切线方程为（9分）
（3）设点P（4，t），切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（2）可知两切线方程PA，PB分别为，（11分）
P点在切线PA，PB上，故P（4，t）满足，
得：，
故A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均满足方程，
即为AB的直线方程．（13分）中，
令y=0，则x=1，故AB过定点（1，0），题得证．（14分）
点评：本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，导数的几何意义等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．