Question

如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的标准方程，长轴长是短轴长的2倍求得a和b的关系，进而把点M代入椭圆方程求得a和b的另一个关系式，然后联立求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）依题意可表示出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，根据判别式大于0求得m的取值范围．
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，问题转化为证明k₁+k₂=0．设出点A，B的坐标，进而表示出两斜率，根据（2）中的方程式，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而代入到k₁+k₂，化简整理求得结果为0，原式得证．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
则

a=2b 4 a2 + 1 b2 =1

，解得

a2=8 b2=2

∴椭圆方程

x2

8

+

y2

2

=1
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m
又KOM=

1

2

∴l的方程为：y=

1

2

x+m
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

，∴x²+2mx+2m²-4=0
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，
∴m的取值范围是{m|-2＜m＜2且m≠0}
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

由x²+2mx+2m²-4=0可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4
而k1+k2=

y1-1

x1-2

，+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m+2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0
∴k₁+k₂=0
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

点评：本题主要考查了椭圆的性质，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系等．综合考查了圆锥曲线与直线的位置关系以及转化和化归的思想的运用．