Question

（本题满分14分）如图多面体PQABCD由各棱长均为2的正四面体和正四棱锥拼接而成

(Ⅰ)证明PQ⊥BC；
(Ⅱ)若M为棱CQ上的点且,  
求的取值范围，使得二面角P-AD-M为钝二面角。

Answer 1

（Ⅰ）见解析； （Ⅱ） 

本试题主要是考查了立体几何中的线线垂直的证明，以及二面角的求解的综合运用。
（1）取AD中点E，连结PE,QE      ……...2分
均为正三角形得到线线垂直，然后利用线面垂直得到线线垂直的性质定理和判定定理的综合运用。
（2）以正方形ABCD的中心O为原点，OF(F为AB的中点)为x轴，OQ为z轴，
建立空间坐标系，设出点的坐标，然后借助于向量的夹角公式表示二面角的平面角的大小。
解：（Ⅰ）取AD中点E，连结PE,QE      ……...2分
均为正三角形
ADPE, ADQE
 AD平面PEQ
 ADPQ   又AD//BC
 PQBC                            。。。。。。。。。6分
（Ⅱ）以正方形ABCD的中心O为原点，OF(F为AB的中点)为x轴，OQ为z轴，
建立空间坐标系， 则P(0，-2，),  Q(0,0,),  B(1,1,0),  C(-1,1,0), 
A(1，-1,0),  D(-1，-1,0)               。。。。。。。。。。8分
平面PAD法向量=（0，，1）    。。。。。。。。。。10分

=(0,2,0)， 
平面ADM的法向量 。。。。。。。。。12分
  
                         。。。。。。。。。。。14分