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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    如图所示，已知梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=3CD，M，N分别是AB，CD的中点，设
    AB
    =
    e1
    ，
    AD
    =
    e2
    ，
    MN
    可表示为
    -
    1
    3
    e1
    +
    e2
    -
    1
    3
    e1
    +
    e2
    （用
    e1
    和
    e2
    表示）．
    分析：根据M、N分别是AB、CD的中点证出2
    MN
    =
    AD
    +
    BC
    ，再利用AB∥CD且AB=3CD证出
    BC
    =
    AD
    -
    2
    3
    AB
    ，代入化简可得
    MN
    =
    1
    3
    AB
    +
    AD
    ，再结合题意可得本题答案．
    解答：解：∵
    MN
    =
    MA
    +
    AD
    +
    DN
    ，
    MN
    =
    MB
    +
    BC
    +
    CN

    ∴2
    MN
    =（
    MA
    +
    AD
    +
    DN
    ）+（
    MB
    +
    BC
    +
    CN
    ）
    =（
    MA
    +
    MB
    ）+（
    DN
    +
    CN
    ）+
    AD
    +
    BC

    ∵M，N分别是AB，CD的中点，
    ∴
    MA
    +
    MB
    =
    DN
    +
    CN
    =
    0
    ，可得2
    MN
    =
    AD
    +
    BC

    ∵AB∥CD，且AB=3CD，
    ∴
    BC
    =
    AC
    -
    AB
    =
    AD
    +
    DC
    -
    AB
    =
    AD
    -
    2
    3
    AB

    因此，2
    MN
    =
    AD
    +
    BC
    =2
    AD
    -
    2
    3
    AB
    ，得
    MN
    =
    1
    3
    AB
    +
    AD

    结合
    AB
    =
    e1
    ，
    AD
    =
    e2
    ，可得
    MN
    =-
    1
    3
    e1
    +
    e2

    故答案为：-
    1
    3
    e1
    +
    e2
    点评：本题在梯形中求向量的线性表达式，着重考查了梯形的性质、向量的线性运算法则和平面向量基本定理等知识，属于中档题．
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