Question

【题目】给出下列命题：

①，不等式恒成立；

②若，则；

③“若且，则”的逆否命题；

④若命题，命题，则命题是真命题．

其中，真命题为（ ）

A.①③④B.①②C.①②③D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

对于①中不等式可表示为得结论；对于②根据基本不等式的适用条件，结合与互为倒数，是同号的两个数，可得，可得结论；对于③根据逆否命题与原命题同真同假，直接判断原命题的真假即可，然后利用不等式的基本性质，可以证出原命题为真命题；对于④可以分别证出命题和命题都是真命题，从而得到题是假命题.

对于①，不等式整理，得原不等式等价于，

∵

∴原不等式恒成立，故①正确；

对于②，因为，两个数互为倒数，

所以与同号，当时，

可得与都为正数，

根据基本不等式，有，

此时有且，

∴，故②正确；

对于③，命题“若且，则”的逆否命题与原命题同真同假，

因此判断原命题的真假性即可，

若，两边都除以，得…()，

又因为，将()两边都乘以，得，

所以原命题是真命题，故③是真命题，正确；

对于④，∵对任意的均成立，

∴命题”是真命题，

∵存在，使得，

∴命题是真命题，

∴命题是假命题，

∵命题“”当中有一个真命题，另一个是假命题

∴“”是假命题，故④不正确，

综上所述，真命题有三个：①②③，

故选：C.