Question

【题目】【2018安徽江南十校高三3月联考】线段为圆： 的一条直径，其端点， 在抛物线： 上，且， 两点到抛物线焦点的距离之和为．

（I）求直径所在的直线方程；

（II）过点的直线交抛物线于， 两点，抛物线在， 处的切线相交于点，求面积的最小值．

Answer 1

【答案】（I）．（II）．

【解析】试题分析：

（1）设， ，抛物线的焦点为，由题意可得=，∴， 的方程为.利用点差法可得的直线方程为.

（2）不妨记， ， ，直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，结合弦长公式可得 ，结合点到直线距离公式可得点到直线的距离 ，则 ，则的面积的最小值.

试题解析：

（1）设， ，抛物线的焦点为，则，

又，故，∴，

于是的方程为.

，则 ，

∴的直线方程为.

（2）不妨记， ， ，直线的方程为，

联立得，

则， ，

又因为，则，

同理可得： ，

故， 为一元二次方程的两根，

∴，

点到直线的距离 ，

，

∴时， 的面积取得最小值.