Question

已知点P（x，y）是曲线y=

1-x2

上的动点，则点P到直线y=x+3的距离的最大值是

2

2

．

Answer 1

分析：利用三角换元，假设点的坐标，利用点到直线的距离公式，求出点P到直线y=x+3的距离，进而可求其最大值．

解答：解：∵点P（x，y）是曲线y=

1-x2

上的动点，
∴设P（cosα，sinα）（α∈[0，π]）
∴点P到直线y=x+3的距离为d=

|cosα-sinα+3|

2

=

| 2 cos(α+ π 4 )+3|

2

∵α∈[0，π]
∴α+

π

4

∈[

π

4

，

5

4

π]
∴cos(α+

π

4

)∈[-1，

2

2

]
∴cos(α+

π

4

)=

2

2

时，

| 2 cos(α+ π 4 )+3|

2

取得最大值为2

2

即点P到直线y=x+3的距离的最大值是2

2

故答案为：2

2

点评：本题考查直线与圆的综合运用，考查点到直线的距离，解题的关键是利用三角换元，假设点的坐标，再利用点到直线的距离公式，求出点P到直线y=x+3的距离