Question

【题目】已知.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）设， ， 为函数的两个零点，求证： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析: （Ⅰ）根据导数，分类讨论，当时， ；当时， ，由

得， 时， ， 时， ，即可得出单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的单调递增区间为，单调递减区间为．不妨设，由条件知，即，构造函数， 与图像两交点的横坐标为， ，利用单调性只需证

构造函数利用单调性证明．

试题解析：（Ⅰ） ，

当时， ，即的单调递增区间为，无减区间；

当时， ，由

得

时， ， 时， ，

时，易知的单调递增区间为，单调递减区间为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知的单调递增区间为，单调递减区间为．

不妨设，由条件知，即

构造函数， 与图像两交点的横坐标为，

由可得，

而，

知在区间上单调递减，在区间上单调递增．

可知

欲证，只需证，即证

考虑到在上递增，只需证

由知，只需证

令，

则

即单增，又，

结合知，即成立，

即成立