Question

【题目】已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，，分别是的中点。

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成锐二面角的大小；

（3）线段上是否存在一个动点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（I）见解析，（Ⅱ），（Ⅲ）不存在

【解析】

（I）先根据面面垂直得线面垂直，再根据平行转化得结果，（Ⅱ）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根据向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果，（Ⅲ）先假设存在，根据（Ⅱ）可得平面法向量，再根据向量数量积得直线方向向量与法向量夹角，结合条件得方程，根据方程解的情况作判断.

（I）证明：∵，,

∴,

又∵,∴，

（Ⅱ）取中点，连接

∵， ，∴，

如图以点为原点分别以所在直线为轴轴轴建立空间直角坐标系,∴， ，， ,

设平面的法向量为，，

取∴

又平面的法向量为，

设平面与平面所成锐角二面角为

∴，

∴平面与平面所成锐角二面角为.

（Ⅲ）设，

，

∴，

∴，

即，无解，∴不存在这样的.