Question

（2013•眉山二模）函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．
（Ⅰ）求此平行线的距离；
（Ⅱ）若存在x使不等式

x-m

f(x)

＞

x

成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x₀，我们把|f（x₀）-g（x₀）|的值称为两函数在x₀处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，确定a的值，从而可得切线方程，即可求得两平行切线间的距离；
（Ⅱ）问题等价于m＜x-

x

ex在x∈[0，+∞）有解，令h(x)=x-

x

ex，则m＜h_max（x），由此即可求得实数m的取值范围；
（Ⅲ）证法一：函数y=f（x）和y=g（x）的偏差为：F（x）=|f（x）-g（x）|=e^x-lnx，x∈（0，+∞），求出其最小值，即可得到结论；
证法二：由于函数y=f（x）和y=g（x）的偏差：F（x）=|f（x）-g（x）|=e^x-lnx，x∈（0，+∞），构造函数F1(x)=ex-x，x∈（0，+∞），F₂（x）=x-lnx，x∈（0，+∞），确定其单调性，确定其范围，即可求得结论．

解答：（Ⅰ）解：f'（x）=ae^x，g′(x)=

1

x

，
y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a），y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0），
∵函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行
∴f'（0）=g'（a），即a=

1

a

又∵a＞0，∴a=1．
∴f（x）=e^x，g（x）=lnx，
∴函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：x-y+1=0，x-y-1=0
∴两平行切线间的距离为

2

．
（Ⅱ）解：由

x-m

f(x)

＞

x

得

x-m

ex

＞

x

，故m＜x-

x

ex在x∈[0，+∞）有解，
令h(x)=x-

x

ex，则m＜h_max（x）．
当x=0时，m＜0；
当x＞0时，∵h′(x)=1-(

1

2 x

ex+

x

ex)=1-(

1

2 x

+

x

)ex，
∵x＞0，∴

1

2 x

+

x

≥2

1 2 x • x

=

2

 ， ex＞1，∴(

1

2 x

+

x

)ex＞

2

故h′(x)=1-(

1

2 x

+

x

)ex＜0
即h(x)=x-

x

ex在区间[0，+∞）上单调递减，故h（x）_max=h（0）=0，∴m＜0
即实数m的取值范围为（-∞，0）．
（Ⅲ）证法一：∵函数y=f（x）和y=g（x）的偏差为：F（x）=|f（x）-g（x）|=e^x-lnx，x∈（0，+∞）
∴F′(x)=ex-

1

x

，
设x=t为F′(x)=ex-

1

x

=0的解，则当x∈（0，t），F'（x）＜0；
当x∈（t，+∞），F'（x）＞0，∴F（x）在（0，t）单调递减，在（t，+∞）单调递增
∴F(x)min=et-lnt=et-ln

1

et

=et+t
∵f'（1）=e-1＞0，f′(

1

2

)=

e

-2＜0，∴

1

2

＜t＜1
故F(x)min=et+t=e

1

2

+

1

2

=

e

+

1

2

＞

2.25

+

1

2

=2
即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．
证法二：由于函数y=f（x）和y=g（x）的偏差：F（x）=|f（x）-g（x）|=e^x-lnx，x∈（0，+∞）
令F1(x)=ex-x，x∈（0，+∞）；令F₂（x）=x-lnx，x∈（0，+∞）
∵F1′(x)=ex-1，F2′(x)=1-

1

x

=-

1-x

x

，
∴F₁（x）在（0，+∞）单调递增，F₂（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增
∴F₁（x）＞F₁（0）=1，F₂（x）≥F₂（1）=1，
∴F（x）=e^x-lnx=F₁（x）+F₂（x）＞2
即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查新定义，正确求导，理解新定义是解题的关键．