Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．

（Ⅰ）求证AM//平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A-DF-B的大小；
（Ⅲ）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°．

Answer 1

（1）对于线面平行的证明，主要是分析借助于中位线来得到AM∥OE
（2）60º（3）P是AC的中点

试题分析：解法一: (1)记AC与BD的交点为O,连接OE, ∵O、M分别是AC、EF的中点， ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，
∴AM∥OE．∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDE．……4分
(2)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，∵AB⊥AF， AB⊥AD， ∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂线定理得BS⊥DF．∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角．
在RtΔASB中，
∴∴二面角A—DF—B的大小为60º．……8分
（3）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，
∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF．在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ．
∵ΔPAQ为等腰直角三角形，∴又∵ΔPAF为直角三
角形，∴，∴所以t=1或t=3(舍去),即点P是AC的中点．……12分
解法二： （1）建立空间直角坐标系．
设，连接NE， 则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,
∴, 又点A、M的坐标分别是,（
∴ =（∴且NE与AM不共线，∴NE∥AM．又∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDE．
（2）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF．
∴为平面DAF的法向量．
∵=（·=0，
∴=（·=0得
，，∴NE为平面BDF的法向量．
∴cos<=∴AB与NE的夹角是60º．即所求二面角A—DF—B的大小是60º．
（3）设P(t,t,0)(0≤t≤)得∴=（0，， 0）
又∵PF和BC所成的角是60º．∴
解得或（舍去），即点P是AC的中点．
点评：解决的关键是根据线面平行的判定定理，以及空间的法向量来求解二面角的平面角的大小，属于中档题。