Question

【题目】已知点在椭圆上，椭圆的右焦点，直线过椭圆的右顶点，与椭圆交于另一点，与轴交于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若为弦的中点，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若，交椭圆于点，求的范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）.

【解析】

（1）设点为,利用椭圆的定义及两点间距离公式可求得,结合及椭圆中的关系可求得,则求得椭圆的标准方程.

（2）根据直线过椭圆的右顶点可设出直线,联立椭圆方程,结合韦达定理可用斜率表示出D点的坐标,再由中点坐标公式表示出点坐标,即可得直线的斜率.根据直线交轴于,可表示出点坐标.设出定点,表示出直线的斜率,根据可知,根据恒成立问题即可求得的坐标.

（3）设出直线的方程,联立椭圆即可求得点M的坐标,代入后化简为关于直线斜率的表达式,通过构造函数,并根据函数的单调性即可求得的取值范围.

（1）设椭圆过的定点为,且左焦点为

因为椭圆的右焦点则

所以

由椭圆定义

所以

由椭圆中的关系可知

∴椭圆的标准方程：

（2）由题意可知,直线的斜率存在且不为0,

直线过椭圆的右顶点,交另外一点于D.设直线的方程,

联立方程可得,

消去整理得：,

则由韦达定理可知,

则,代入直线方程可得,

∴,

由为弦的中点,根据中点坐标公式可得,

∴直线的斜率,

对于直线的方程,令,则,

假设存在定点,,满足,

直线的斜率,

∴,整理得,

由恒成立,则,解得

则定点的坐标为；

（3）由,则直线的方程,设,

由,解得,

∵

令,（直线的斜率存在且不为0,∴）

∵函数在单调递增,

∴的取值范围是.