Question

已知圆C过点P（1，1），且圆M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．
（1）判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；
（2）过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B．
①若直线PA和直线PB互相垂直，求PA+PB的最大值；
②若直线PA和直线PB与x轴分别交于点G、H，且∠PGH=∠PHG，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中圆C过点P（1，1），且圆M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称，我们可以求出圆C的方程，然后判断圆心距CM与两圆半径和与差的关系，即可得到答案．
（2）由（1）中圆的方程可得P点在圆C上，故l₁、l₂即PA，PB为过P点的两条弦，
①设l₁、l₂被圆C所截得弦的中点分别为E、F，弦长分别为d₁，d₂，由直线PA和直线PB互相垂直可得四边形OEPF是矩形，即OE²+OF²=OP²=2，进而根据半弦长，弦心距，圆半径构造直角三角形，满足勾股定理，得到d₁²+d₂²=8，进而由基本不等式，得到d₁+d₂，即PA+PB的最大值；
另外，也可以分类讨论，分别讨论直线PA与PB中有一条直线的斜率不存在和直线PA与PB斜率都存在，且互为负倒数，两种情况下PA+PB的值，最后综合讨论结果得到答案．
②由已知中直线PA和直线PB与x轴分别交于点G、H，且∠PGH=∠PHG，可得直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，设PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1），求出A，B坐标后，代入斜率公式，判断直线OP和AB是否相等，即可得到答案．

解答：解（1）设圆心C（a，b），则

a-2 2 + b-2 2 +2=0 b+2 a+2 =1

，解得

a=0 b=0

…（2分）
则圆C的方程为x²+y²=r²，将点P的坐标代入得r²=2，故圆C的方程为x²+y²=2
∴CM=2

2

，又两半径之和为2

2

，∴圆M与圆C外切．…（4分）
（2）令l₁、l₂即PA，PB为过P点的两条弦
①设l₁、l₂被圆C所截得弦的中点分别为E、F，弦长分别为d₁，d₂，因为四边形OEPF是矩形，
所以OE²+OF²=OP²=2，即(2-(

d1

2

)2)+(2-(

d2

2

)2)=2，化简得d₁²+d₂²=8…（9分）
从而d₁+d₂≤

2

•

d 2 1 + d 2 2

=4，（d₁=d₂时取等号，此时直线PA，PB必有一条斜率不存在）
综上：l₁、l₂被圆C所截得弦长之和的最大值为4…（10分）
另解：若直线PA与PB中有一条直线的斜率不存在，
则PA=PB=2，此时PA+PB=4．…（5分）
若直线PA与PB斜率都存在，且互为负倒数，故可设PA：y-1=k（x-1），即kx-y+1=0，（k≠0）
点C到PA的距离为

|k+1|

1+k2

，同理可得点C到PB的距离为

|k-1|

1+k2

，
∴PA+PB=2（

2- (1-k)2 k2+1

+

2- (1+k)2 k2+1

）…（8分）
∴（PA+PB）²=4（2+2|1-

2

k2+1

|）＜16，∴PA+PB＜4 …（9分）
综上：l₁、l₂被圆C所截得弦长之和的最大值为4…（10分）
②直线OP和AB平行，理由如下：
由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y-1=k（x-1），
PB：y-1=-k（x-1），由

y-1=k(x-1) x2+y2=2

，得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0
因为P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得x_A=

k2-2k-1

1+k2

…（12分）
同理，所以x_B=

k2+2k-1

1+k2

，k_AB=

yB-yA

xB-xA

=

-k(xB-1)-k(xA-1)

xB-xA

=

2k-k(yB+yA)

xB-xA

=1=k_OP…（15分）
所以，直线AB和OP一定平行．…（16分）
（说明：解答题方法不唯一时，评分参照执行．）

点评：本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式，关于直线对称的圆的方程，圆与圆位置关系及其判定，其中根据已知条件求出圆C的方程是解答本题的关键．