Question

(2007北京东城模拟)如下图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中点，F是AD的中点．

(1)求异面直线PD与AE所成角的大小；

(2)求证：EF⊥平面PBC；

(3)求二面角F—PC—B的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：连接BD，∵PD⊥平面ABCD， ∴平面PDB⊥平面ABCD． 过点E作EO⊥BD于O，连接AO． 则EO∥PD，且EO⊥平面ABCD． ∴∠AEO为异面直线PD，AE所成的角 ∵E是PB的中点，则O是BD的中点， 且． 在Rt△EOA中，， ∴． 即异面直线PD与AE所成角的大小为． (2)连接FO．∵F是AD的中点， ∴OF⊥AD．∵EO⊥平面ABCD， 由三垂线定理，得EF⊥AD． 又∵AD∥BC，∴EF⊥BC．连接FB． 可求得．则EF⊥PB． 又∵PB∩BC=B，∴EF⊥平面PBC (3)取PC的中点G，连接EG，FG． 则EG是FG在平面PBC内的射影． ∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC． 又DC⊥BC，且PD∩DC=D， ∴BC⊥平面PDC．∴BC⊥PC． ∵EG∥BC，则EG⊥PC．∴FG⊥PC． ∴∠FGE是二面角F－PC－B的平面角． 在Rt△FEG中，，， ∴． ∴二面角F－PC－B的大小为．