Question

【题目】已知函数

（1）若在处取得极值，求的值；

（2）讨论的单调性；

（3）证明：为自然对数的底数）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）若上单调递减，若

和上单调递减，若，在上单调递增，在单调递减；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）求极值，只要求得，然后解方程，注意验证此方程解的两边导数的正负，可得极值点，相应得到值；（2）主要研究导函数的正负，，因此只要考虑，先讨论，然后研究，在时，分类，在时不要注意两根的大小，正确分类后可得结论；（3）要证明不等式，联想（2）的结论，在（2）中令，得，即，因此，再取，所得相加可证题设不等式．

试题解析：（1）是的一个极值点，则，验证知=0符合条件

（2）

1）若=0时，

单调递增，在单调递减；

2）若

上单调递减

3）若

再令

在

综上所述，若上单调递减，

若

。

若

（3）由（2）知，当

当