Question

附加题：
设A、B是抛物线C：y²=2px（P＞0）上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且α+β为定值θ（0＜θ＜π）时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．
（注：实验班必做，普通班选做）

Answer 1

解：OA的方程为 y=tanα•x，代入抛物线C：y²=2px，解得A（， ），同理求得B（，），
用两点式求得AB的方程为 =，化简可得 y=x+，
∵α+β为定值θ，∴tanθ=，∴tanα•tanβ=，
故直线AB的方程为 y=x+- x=（x+2p）- x．
故x=-2p 时，y=，故 直线AB过定点（-2p， ）．
分析：把OA的方程y=tanα•x，代入抛物线C：y²=2px，求得A的坐标，同理求得B的坐标，用两点式求得AB的方程，利用
α+β为定值θ 化简为 y=（x+2p）- x，可得过定点（-2p， ）．
点评：本题考查直线和圆的位置关系，直线过定点问题，化简直线AB的方程为 y=（x+2p）- x，
是解题的关键和难点．