Question

已知圆锥曲线C：

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ为参数）和定点A（0，

3

），F₁，F₂是此圆锥曲线的左右两个焦点
（1）求直线AF₂的极坐标方程；
（2）过点F₁且与直线AF₂垂直的直线l交此圆锥曲线于M，N两点，求||MF₁|-|NF₁||的值．

Answer 1

分析：（1）由圆锥曲线C：

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ为参数）消去参数θ可得椭圆的方程，利用c=

a2-b2

即可得出F₂．利用点斜式可得直线AF₂的方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式x=ρcosα，y=ρsinα即可得出；
（2）可设此直线的参数方程为

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

，代入椭圆方程整理，再利用参数的几何意义即弦长公式||MF₁|-|MF₂||=|t₁+t₂|即可得出．

解答：解：（1）由圆锥曲线C：

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ为参数）消去参数θ可得

x2

4

+

y2

3

=1，
∴c=

4-3

=1，∴F₂（1，0）．
∵A(0，

3

)，∴kAF2=

3 -0

0-1

=-

3

．
∴直线AF₂的方程为y=-

3

x+

3

，
把x=ρcosα，y=ρsinα代入得到ρsinα=-

3

ρcosα+

3

，即ρsin(α+

π

3

)=

3

2

．
（2）∵AF₂的斜率kAF2=-

3

，∴过点F₁且与直线AF₂垂直的直线l的斜率k=

3

3

．
可设此直线的参数方程为

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

，代入椭圆方程整理得13t2-12

3

t-36=0．
∴由弦长公式可得||MF₁|-|NF₁||=|t₁+t₂|=

12 3

13

．

点评：本题综合考查了椭圆的参数方程、标准方程及其性质、极坐标与直角坐标的互化公式x=ρcosα，y=ρsinα、直线的参数方程及参数的几何意义和弦长公式等基础知识与基本方法，属于难题．