Question

【题目】已知函数， .

（1）讨论函数的单调区间；

（2）若， 恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）.

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用导数与函数单调性之间的关系分类求解；（2）先将不等式进行等价转化，再构造函数借助导数知识及分类整合思想分析求解：

（1），

（ⅰ）当时， ，函数在上单调递增；

（ⅱ）当时，令，则，

当，即时，函数单调递增；

当，即时，函数单调递减.

综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.

（2）令，由（1）可知，函数的最小值为，所以，即.

恒成立与恒成立等价，

令，即，则，

①当时， （或令，则在上递增，∴，∴在上递增，∴，∴）

∴在区间上单调递增，

∴，

∴恒成立，

②当时，令，则，

当时， ，函数单调递增.

又， ，

∴存在，使得，故当时， ，即，故函数在上单调递减；当时， ，即，故函数在上单调递增.

∴，

即， 不恒成立，

综上所述， 的取值范围是.