Question

【题目】已知函数f（x）= 是奇函数
（1）求a的值；
（2）判断函数的单调性，并给予证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x）

即 ，

即

整理得：（2x﹣1）（a﹣2）=0对任意x∈R都成立，

∴a﹣2=0，

即a=2

（2）解：此时 ，

f（x）在x∈R是增函数，理由如下：

证法一：任取x1，x2∈R，且x1＜x2

则

∵x1＜x2，且函数y=2x是增函数，

∴ ＜0， ＞0

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

所以函数f（x）在R是增函数．

证法二：∵ ，

∴ ，

∵f′（x）＞0恒成立，

所以函数f（x）在R是增函数

【解析】（1）由函数f（x）= 是奇函数，f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，可得a的值；（2）f（x）在x∈R是增函数，
证法一：任取x1 ， x2∈R，且x1＜x2 ， 作差判断出f（x1）﹣f（x2）＜0，结合单调性的定义，可得：函数f（x）在R是增函数；
证法二：求导，根据f′（x）＞0恒成立，可得：函数f（x）在R是增函数．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的判断方法(单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较)，还要掌握函数的奇偶性(偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称)的相关知识才是答题的关键．