Question

已知函数f(x)=lnx-

1

2

ax2+bx（a＞0），且f′（1）=0．
（Ⅰ）试用含有a的式子表示b，并求f（x）的极值；
（Ⅱ）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函数图象上存在点M（x₀，y₀）（其中x₀∈（x₁，x₂）），使得点M处的切线l∥AB，则称AB存在“伴随切线”．特别地，当x0=

x1+x2

2

时，又称AB存在“中值伴随切线”．试问：在函数f（x）的图象上是否存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出A、B的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x）根据且f'（1）=0求出a和b的关系即可，根据自变量的取值范围及a＞0，令导函数大于0得到函数的增区间，令导函数小于0得到函数的减区间，根据增减性得到函数的极值即可；
（Ⅱ）不存在，设两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入到函数关系式中，然后求出直线AB的斜率，并求出在M的切线的斜率，两者相等得到等式，化简后令其左边设为函数g（t），求出函数g（t）的最小值，这表明在函数f（x）上不存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′(x)=

1

x

-ax+b，f'（1）=1-a+b=0，∴b=a-1．
代入f′(x)=

1

x

-ax+b，得f′(x)=

1

x

-ax+a-1=-

(ax+1)(x-1)

x

．
当f'（x）＞0时，-

(ax+1)(x-1)

x

＞0，由x＞0，得（ax+1）（x-1）＜0，
又a＞0，∴0＜x＜1，即f（x）在（0，1）上单调递增；
当f'（x）＜0时，-

(ax+1)(x-1)

x

＜0，由x＞0，得（ax+1）（x-1）＞0，
又a＞0，∴x＞1，即f（x）在（1，+∞）上单调递减．
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
所以，当x=1时，f（x）的极大值为f(1)=ln1-

1

2

a+b=

a

2

-1
（Ⅱ）在函数f（x）的图象上不存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”．
假设存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨设0＜x₁＜x₂，则y1=lnx1-

1

2

a

x

2 1

+(a-1)x1，y2=lnx2-

1

2

a

x

2 2

+(a-1)x2，kAB=

y2-y1

x2-x1

=

(lnx2-lnx1)- 1 2 a( x 2 2 - x 2 1 )+(a-1)(x2-x1)

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a(x1+x2)+a-1，
在函数图象x0=

x1+x2

2

处的切线斜率k=f′(x0)=f′(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

-a•

x1+x2

2

+(a-1)，
由

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a(x1+x2)+a-1=

2

x1+x2

-a•

x1+x2

2

+(a-1)
化简得：

lnx2-lnx1

x2-x1

=

2

x1+x2

，ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x2+x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

．
令

x2

x1

=t，则t＞1，上式化为：lnt=

2(t-1)

t+1

=2-

4

t+1

，即lnt+

4

t+1

=2，
若令g(t)=lnt+

4

t+1

，g′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

，
由t≥1，g'（t）≥0，∴g（t）在[1，+∞）在上单调递增，g（t）＞g（1）=2．
这表明在（1，+∞）内不存在t，使得lnt+

4

t+1

=2．
综上所述，在函数f（x）上不存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”．

点评：考查利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求函数极值的能力，以及直线斜率的计算公式．