Question

17.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，

AD＝.

Ⅰ.求四棱锥S-ABCD的体积；

Ⅱ.求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.

Answer 1

17.本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力.

解：Ⅰ.直角梯形ABCD的面积是M_底面＝(BC＋AD)·AB＝＝，

 

所以四棱锥S-ABCD的体积是V＝×SA×M_底面＝×1×＝.

 

Ⅱ.延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱.

因为AD∥BC，BC＝2AD，

所以EA＝AB＝SA，所以SE⊥SB，

因为SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线，

又BC⊥EB，所以BC⊥面SEB，

故SB是CS在面SEB上的射影，

所以CS⊥SE，

所以∠BSC是所求二面角的平面角.

因为SB＝＝，BC＝1，BC⊥SB，

所以tanBSC＝＝.

即所求二面角的正切值为.