Question

（2003•北京）如图，已知椭圆的长轴A₁A₂与x轴平行，短轴B₁B₂在y轴上，中心M（0，r）（b＞r＞0
（Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）设直线y=k₁x与椭圆交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）（y₂＞0），直线y=k₂x与椭圆次于G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）（y₄＞0）．求证：

k1x1x2

x1+x2

=

k1x3x4

x3+x4

；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在C，D，G，H，设CH交x轴于P点，GD交x轴于Q点，求证：|OP|=|OQ|
（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆的长轴A₁A₂与x轴平行，短轴B₁B₂在y轴上，中心M（0，r），即可得椭圆方程，从而可得焦点坐标与离心率；
（Ⅱ）将直线CD的方程y=k₁x代入椭圆方程，利用韦达定理，可得

x1x2

x1+x2

=

r2-b2

2k1r

；将直线GH的方程y=k₂x代入椭圆方程

x2

a2

+

(y-r)2

b2

=1，同理可得

x3x4

x3+x4

=

r2-b2

2k2r

，由此可得结论；
（Ⅲ）设点P（p，0），点Q（q，0），由C、P、H共线，得p=

(k1-k2)x1x4

k1x1-k2x4

；由D、Q、G共线，可得  
q=

(k1-k2)x2x3

k1x2-k2x3

，由此可得结论．

解答：（Ⅰ）解：∵椭圆的长轴A₁A₂与x轴平行，短轴B₁B₂在y轴上，中心M（0，r），
∴椭圆方程为

x2

a2

+

(y-r)2

b2

=1
焦点坐标为F1(-

a2-b2

，r)，F2(

a2-b2

，r)
离心率e=

a2-b2

a

（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k₁x代入椭圆方程

x2

a2

+

(y-r)2

b2

=1，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2
整理得(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0
根据韦达定理，得x1+x2=

2k1a2r

b2+a2k12

，x1x2=

a2r2-a2b2

b2+a2k12

，
所以  

x1x2

x1+x2

=

r2-b2

2k1r

①
将直线GH的方程y=k₂x代入椭圆方程

x2

a2

+

(y-r)2

b2

=1，同理可得

x3x4

x3+x4

=

r2-b2

2k2r

②
由 ①、②得   

k1x1x2

x1+x2

=

r2-b2

2r

=

k2x3x4

x3+x4

所以结论成立
（Ⅲ）证明：设点P（p，0），点Q（q，0）
由C、P、H共线，得   

x1-p

x4-p

=

k1x1

k2x4

解得   p=

(k1-k2)x1x4

k1x1-k2x4

由D、Q、G共线，同理可得   

x2-p

x3-p

=

k1x2

k2x3

∴q=

(k1-k2)x2x3

k1x2-k2x3

由

k1x1x2

x1+x2

=

k2x3x4

x3+x4

变形得-

(k1-k2)x1x4

k1x1-k2x4

=

(k1-k2)x2x3

k1x2-k2x3

所以|p|=|q|
即|OP|=|OQ|

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查不等式的证明，认真审题，细心计算是关键．