Question

【题目】如图所示，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，是侧棱的中点，过点作平行于、的平面分别交棱、、于点、、.

（1）证明：四边形为矩形；

（2）若平面平面，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）设的中点为，连接，，由线面平行的性质定理，分别证得和，得到四边形为平行四边形，再由线面垂直的性质定理，证得，即可得到答案。

（2）以为原点建立如图的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。

（1）如图，设的中点为，连接，，

∵平面，平面平面，平面平面，

∴，，∴.

同理，由平面得，∴四边形为平行四边形.

∵与都是等边三角形，∴，，

又，∴平面，故，

又由上知，，∴，∴四边形为矩形.

（2）∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，∴，，两两垂直，

以为原点建立如图的空间直角坐标系，

∵与都是边长为2的等边三角形，

∴，，，，

∴，，，

设平面的法向量为，

由，令，得.

同理可得平面的法向量，

∴ .

由图形可知，所求二面角的平面角为锐角，∴二面角的余弦值为.