Question

一直线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于A，B两点，C为抛物线准线的一点．
（1）求证：∠ACB不可能是钝角；
（2）是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(-

p

2

，m)，直线AB方程为x=ty+

p

2

，由

x=ty+ p 2 y2=2px

得：y²-2pty-p²=0，由此能够证明∠ACB不可能是钝角
（2）假设存在点C，使得△ABC为正三角形．由（1）得：线段AB的中点为M(pt2+

p

2

，pt)，由此能够推导出存在点C(-

p

2

，±4

2

p)，使得△ABC为正三角形．

解答：解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(-

p

2

，m)，
直线AB方程为x=ty+

p

2

由

x=ty+ p 2 y2=2px

，得：y²-2pty-p²=0，
则y1+y2=2pt，y1y2=-p2
∴x1+x2=2pt2+p，x1x2=

p2

4

．

CA

=(x1+

p

2

，y1-m)，

CB

=(x2+

p

2

，y2-m)
∴

CA

•

CB

=(pt-m)2≥0
∴＜

CA

，

CB

＞不可能为钝角，
故∠ACB不可能是钝角
（2）假设存在点C，使得△ABC为正三角形
由（1）得：线段AB的中点为M(pt2+

p

2

，pt)
①若直线AB的斜率不存在，这时t=0，A(

p

2

，p)，B(

p

2

，-p)，
点C的坐标只可能是(

p

2

，-p)，由|CM|=

3

2

|AB|，
得：p=

3

2

•2p，矛盾，于是直线AB的斜率必存在．
②由CM⊥AB，得：k_CM•k_AB=-1，
即

pt-m

pt2+ p 2 + p 2

•

1

t

=-1，
∴m=pt³+2pt，
∴C(-

p

2

，pt3+2pt)|CM|=p(t2+1)

t2+1

，|AB|=2p（t²+1），
由|CM|=

3

2

|AB|，得：t=±

2

，
∴C(-

p

2

，±4

2

p)
故存在点C(-

p

2

，±4

2

p)，使得△ABC为正三角形．

点评：本题考查角不能为钝角的证明，判断是否存在满足条件的点使得三角形为正三角形．具体涉及到抛物线的简单性质，直线和抛物线的位置关系，是难题．