Question

若直线过点P（-3，-

3

2

），且被圆x²+y²=25截得的弦长是8，则这条直线的方程是（　　）

• A、3x+4y+15=0
• B、x=-3或y=-

  3

  2

• C、x=-3
• D、x=-3或3x+4y+15=0

Answer 1

分析：根据垂径定理及勾股定理，由圆的半径和截得的弦长的一半求出弦心距，即圆心到直线的距离等于所求的弦心距，分斜率存在和不存在两种情况：当斜率存在时，设直线的斜率为k，根据P的坐标写出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于求出的弦心距列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，确定出所求直线的方程；当斜率不存在时，因为圆心到直线x=-3的距离等于弦心距3，显然直线x=-3满足题意，综上，得到满足题意的两直线的方程．

解答：解：由圆的方程x²+y²=25，得到圆心坐标为（0，0），半径r=5，
又直线被圆截得的弦长为8，根据垂径定理得到圆心到直线的距离即弦心距为

52-42

=3，
当所求直线的斜率存在时，设直线的方程为：y+

3

2

=k（x+3）即kx-y+3k-

3

2

=0，
所以圆心到直线的距离d=

|3k- 3 2 |

1+k2

=3，
化简得：9k=

9

4

-9即k=-

3

4

，所以所求直线的方程为：3x+4y+15=0；
当所求直线的斜率不存在时，显然所求直线的方程为：x=-3，
综上，满足题意的直线方程为x=-3或3x+4y+15=0．
故选D

点评：此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学数学思想，是一道中档题．学生容易把斜率不存在的情况忽视．