Question

若不等式

x

+

y

≤k

2x+y

对于任意正实数x、y成立，则k的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：将不等式

x

+

y

≤k

2x+y

转化为k²≥

x+y+2 xy

2x+y

．只要求得

x+y+2 xy

2x+y

最大值即可．

解答：解：显然k＞0，故k²≥

x+y+2 xy

2x+y

．
令t=

x y

＞0，则k²≥

y(t2+2t+1)

y(2t2+1)

=

1

2

(1+

4t+1

2t2+1

)
令u=4t+1＞1，则t=

u-1

4

．

4t+1

2t2+1

可转化为：s（u）=

8u

u2-2u+9

=

8

u+ 9 u -2

≤2，
于是，

1

2

(1+

4t+1

2t2+1

)≤

1

2

（1+2）=

3

2

．
∴k²≥

3

2

，即k≥

6

2

时，不等式恒成立（当x=4y＞0时等号成立）．
故答案为：[

6

2

，+∞)

点评：本题考查将不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，求最值时一般是转化为基本函数解决，或用基本不等式，或用导数求解．