Question

设函数f(x)=alnx-bx²(x＞0)，
(1)若函数f(x)在x=1处与直线y=相切，
①求实数a，b的值；
②求函数f(x)在[，e]上的最大值；
(2)当b=0时，若不等式f(x)≥m+x对所有的a∈[0，]，x∈(1，e²]都成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

解：(1)①，
∵函数f(x)在x=1处与直线相切，
∴；
②，
当时，令f′(x)＞0，得；
令f′(x)＜0，得1＜x≤e，
∴f(x)在上单调递增，在[1，e]上单调递减，
∴；
(2)当b=0时，f(x)=alnx，
若不等式f(x)≥m+x对所有的都成立，
则alnx≥m+x对所有的都成立，
即m≤alnx-x对所有的都成立，
令h(a)=alnx-x，则h(a)为一次函数，，
∵x∈，∴lnx＞0，
∴h(a)在上单调递增，∴，
∴m≤-x对所有的x∈都成立，
∵，
∴，∴。