Question

如图，设铁路AB长为80，BC⊥AB，且BC=10，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．
（1）将总运费y表示为x的函数；
（2）如何选点M才使总运费最小？

Answer 1

分析：（1）由已知中铁路AB长为80，BC⊥AB，且BC=10，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4，我们可计算出公路上的运费和铁路上的运费，进而得到由A到C的总运费；
（2）由（1）中所得的总运费y表示为x的函数，利用导数法，我们可以分析出函数的单调性，及函数的最小值点，得到答案．

解答：解：（1）依题中，铁路AB长为80，BC⊥AB，且BC=10，
将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，
且单位距离的铁路运费为2，公路运费为4
∴铁路AM上的运费为2（80-x），公路MC上的运费为4

100+x2

，
则由A到C的总运费为y=2（80-x）+4

100+x2

（0≤x≤80）…（6分）
（2）y′=-2+

4x

100+x2

（0≤x≤80），
令y′=0，
解得x=

10

3

，或x=-

10

3

（舍）…（9分）
当0≤x≤

10

3

时，y′≤0；当

10

3

≤x≤80时，y′≥0
故当x=

10

3

时，y取得最小值．…（12分）
即当在距离点B为

10

3

时的点M处修筑公路至C时总运费最省．…（13分）

点评：本题考查的知识点是导数在最大值最小值问题中的应用，函数最值的应用，其中根据已知条件求出函数的解析式，并确定函数的单调性是解答本题的关键．