Question

已知向量

.

m

=（cosωx，sinωx），

.

n

=（cosωx，2

3

cosωx-sinωx），ω＞0，函数f（x）=

.

m

•

.

n

+|

.

m

|，且函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

（1）作出函数y=f（x）-1在[0，π]上的图象
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f（A）=2，c=2，S_△ABC=

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据向量的数量积的坐标表示，利用二倍角公式，两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，根据范围通过列表等画出函数的图象；
（2）由已知f（A）=2结合已知A的范围可求A，利用三角形的面积公式可求b，然后利用余弦定理求出a

解答：解（1）∵f（x）=

m

•

n

+|

m

|=cos²ωx+2

3

sinωxcosωx-sin²?x+1
=cos2ωx+

3

sin2ωx+1=2sin（2ωx+

π

6

）+1
由题意知T=π，又T=

2π

2ω

=π，
∴ω=1，f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，f（x）-1=2sin（2x+

π

6

）
列表：

2x+ π 6	π 6	π 2	π	3π 2	2π	13π 6
x	0	π 6	5π 12	2π 3	11π 12	π
y	1	2	0	-2	0	1

描点作图，函数f（x）在[0，π]上的图象如图所示．


（2）f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴f（A）=2sin（2A+

π

6

）+1=2，
∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜2π+

π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，
∴A=

π

3

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

，
∴b=1，
∴a²=b²+c²-2bccosA=1+4-2×2×1×

1

2

=3
∴a=

3

．

点评：本题考查了二倍角、辅助角公式的应用及由函数y=Asin（ωx+∅）的图象确定函数的解析式，三角形的面积公式、余弦定理等知识的综合应用