Question

已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线l：y＝x－被圆M所截的弦长为，且圆心M在直线l的下方.

(1)求圆M的方程；

(2)设A(0，t)，B(0，t＋6)(－5≤t≤－2)，若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值.

Answer 1

(1)设圆心M(a,0)，由已知得M到l：8x－6y－3＝0的距离为＝，∴＝，

又∵M在l的下方，∴8a－3>0，∴8a－3＝5，a＝1.

故圆的方程为(x－1)²＋y²＝1.

(2)由题设AC的斜率为k₁，BC的斜率为k₂，则直线AC的方程为y＝k₁x＋t，直线BC的方程为y＝k₂x＋t＋6.

由方程组，得C点的横坐标为x_c＝.

∵|AB|＝t＋6－t＝6，

∴S＝||·6＝，

由于圆M与AC相切，所以1＝，∴k₁＝；

同理，k₂＝，

∴k₁－k₂＝，

∴S＝＝6(1－)，∵－5≤t≤－2.

∴－2≤t＋3≤1，∴－8≤t²＋6t＋1≤－4，

∴S_max＝6×(1＋)＝，S_min＝6×(1＋)＝，

∴△ABC的面积S的最大值为，最小值为.