Question

下列结论：
①当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是x2=

4

3

y；
②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x-y=0，则双曲线的标准方程是

x2

5

-

y2

20

=1；
③抛物线y=ax²（a≠0）的准线方程为y=-

1

4a

；
④已知双曲线

x2

4

+

y2

m

=1，其离心率e∈（1，2），则m的取值范围是（-12，0）．
其中所有正确结论的个数是

 

．

Answer 1

分析：①中求出符合条件的抛物线方程，判断得①正确；②中根据渐近线方程求得a和b的关系进而根据焦距求得a和b，椭圆方程可得．判断②正确；③把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得抛物线的准线方程，判断③正确．④根据离心率的范围求得-12＜m＜0判断④正确．

解答：解：①整理直线方程得（x+2）a+（1-x-y）=0，可知直线过定点（-2，3），符合条件的方程是x2=

4

3

y，则①正确
②依题意知

b

a

=2，a²+b²=25求得a=

5

，b=2

5

，故可知结论②正确．
③整理抛物线方程得x²=

1

a

y，根据抛物线性质可知准线方程为y=-

1

4a

故③正确．
④离心率1＜e=

4-m

2

＜2，解得-12＜m＜0，又m＜0，，故m的范围是-12＜m＜0，④正确，
故正确结论数为4
故答案为4

点评：本题主要考查了圆锥曲线的基本性质．熟练掌握圆锥曲线的性质是正确解题的基础．