Question

探究函数，x∈（0，+∞）的最小值，并确定相应的x的值，列表如下：

x	…			1		2		4	8	16	…
y	…	16.25	8.5	5		4		5	8.5	16.25	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：
（1）若x₁x₂=4，则f（x₁）______f（x₂）（请填写“＞，=，＜”号）；若函数，（x＞0）在区间（0，2）上递减，则在区间______上递增；
（2）当x=______时，，（x＞0）的最小值为______；
（3）试用定义证明，在区间（0，2）上单调递减．

Answer 1

解：（1）∵x₁x₂=4，f（x₁）=f（）=x₂+=f（x₂）
故答案为：=，（2，+∞） （左端点可以闭）
（2）根据（1）可知x=2时，y_min=4 
（3）设0＜x₁＜x₂＜2，则f（x₁）-f（x₂）=
=
∵0＜x₁＜x₂＜2∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4∴x₁x₂-4＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在区间（0，2）上递减
分析：（1）根据x₁x₂=4，将x₁=代入函数解析式，可得结论，根据表中y值随x值变化的特点可得函数的增区间；
（2）根据表中y值随x值变化的特点可得函数的最值；
（3）证明单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论，设0＜x₁＜x₂＜2，然后判定f（x₁）与f（x₂）的大小，属于中档题．
点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及函数单调性的判断与证明，同时考查了计算能力，属于中档题．