Question

已知平面向量

α

，

β

(

α

≠

β

，

β

≠0）满足|

α

|=1，（1）当|

α

-

β

|=|

α

+

β

|=2时，求|

β

|的值；（2）当

β

与

α

-

β

的夹角为120°时，求|

β

|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由|

α

-

β

|=|

α

+

β

|=2即|

α

-

β

|2=|

α

+

β

|2=4，化简得

α • β =0 α 2+2 α • β + β 2=4

可求
（2）可设

OA

=

α

，

OB

=

β

，则

BA

=

α

-

β

，由题可得在△ABO中，∠OBA=60°，由正弦定理，

| β |

sinA

=

| α |

sinB

，
可得|

β

|=

2 3

3

sinA，由0°＜A＜120° 可求

解答：解：（1）|

α

-

β

|=|

α

+

β

|=2即|

α

-

β

|2=|

α

+

β

|2=4，化简得

α • β =0 α 2+2 α • β + β 2=4

∵|

α

|=1，∴|

β

|=

3

，即|

β

|的值为

3

（2）如图，设

OA

=

α

，

OB

=

β

，∴

BA

=

α

-

β

，
由题，

β

与

α

-

β

的夹角为120°，因此，在△ABO中，∠OBA=60°，根据正弦定理，

| β |

sinA

=

| α |

sinB

，
∴|

β

|=

2 3

3

sinA，∵0°＜A＜120°∴0＜sinA≤1，
即|

β

|的取值范围是(0，

2 3

3

]．

点评：本题主要考查了平面向量的数量积性质，三角形的正弦定理的应用，三角函数的性质的综合应用，属于基础知识的综合应用．