Question

（2013•青岛一模）已知n∈N^*，数列{d_n}满足dn=

3+(-1)n

2

，数列{a_n}满足a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n；又知数列{b_n}中，b₁=2，且对任意正整数m，n，

b

m n

=

b

n m

．
（Ⅰ）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）将数列{b_n}中的第a₁项，第a₂项，第a₃项，…，第a_n项，…删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c_n}，求数列{c_n}的前2013项和．

Answer 1

分析：（I）由dn=

3+(-1)n

2

，代入分组求和，然后结合等差数列的求和公式可求a_n，然后可求b_n
（Ⅱ）由题知新数列{c_n}中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b₁=2，b₂=4公比均是8，结合等比数列的求和公式分组求和即可求解

解答：解：（I）∵dn=

3+(-1)n

2

，
∴a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n=

3-1

2

+

3+1

2

+…

3-1

2

+

3+1

2

=

2

2

×n+

4n

2

=3n…（3分）
又由题知：令m=1，则b2=

b

2 1

=22，b3=

b

3 1

=23…bn=

b

n 1

=2n…（5分）
若bn=2n，则

b

m n

=2nm，

b

n m

=2mn，所以

b

m n

=

b

n m

恒成立
若bn≠2n，当m=1，

b

m n

=

b

n m

不成立，所以bn=2n…（6分）
（Ⅱ）由题知将数列{b_n}中的第3项、第6项、第9项…删去后构成的新数列{c_n}中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b₁=2，b₂=4公比均是8，…（9分）
∴T₂₀₁₃=（c₁+c₃+c₅+…+c₂₀₁₃）+（c₂+c₄+c₆+…+c₂₀₁₂）
=

2×(1-81007)

1-8

+

4×(1-81006)

1-8

=

20×81006-6

7

…（12分）

点评：本题主要考查了等差数列的求和公式的应用及等比数列的求和公式的应用．