Question

（本小题满分16分）
已知数列是各项均为正数的等差数列．
（1）若，且，，成等比数列，求数列的通项公式；
（2）在（1）的条件下，数列的前和为，设，若对任意的，不等式恒成立，求实数的最小值；
（3）若数列中有两项可以表示为某个整数的不同次幂，求证：数列　中存在无穷多项构成等比数列．

Answer 1

（1）的通项公式．（2）实数的最小值为．
（3）有等比数列，其中．   

本试题主要是考查了数列的通项公式和数列求和的综合运用。
（1）因为因为 又因为是正项等差数列，故，利用等差数列的某两项可知其通项公式的求解。
（2）因为，可知其的通项公式，利用裂项求和的思想得到结论。
（3）因为这个数列的所有项都是正数，并且不相等，所以，
设其中 是数列的项，是大于1的整数，
分析证明。
（1）因为 又因为是正项等差数列，故
所以，得或(舍去) ，
所以数列的通项公式．………………………………………………4分
（2） 因为，
，

　　 ，
令，则， 当时，恒成立，
所以在上是增函数，故当时，，即当时，， 要使对任意的正整数， 不等式恒成立，
则须使， 所以实数的最小值为．…………………………10分
（3）因为这个数列的所有项都是正数，并且不相等，所以，
设其中 是数列的项，是大于1的整数，，
令，则，
故是的整数倍，对的次幂，
所以，右边是的整数倍．
所有这种形式是数列中某一项，
因此有等比数列，其中．   …………………………16分