Question

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根．数列{b_n}的前n项和为T_n，满足T_n=2-b_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，记c_n=（S_n-λ）•b_n（λ∈R，n∈N^*）．若c₆为数列{c_n}中的最大项，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根，可得a₂+a₅=12，a₂a₅=27，结合d＞0，可得数列{a_n}的通项公式；利用T_n=2-b_n，再写一式，两式相减，可得数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）根据c_n=（S_n-λ）•b_n，确定表达式，利用c₆为数列{c_n}中的最大项，即可求实数λ的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根
∴a₂+a₅=12，a₂a₅=27，
∵d＞0，∴a₂=3，a₅=9，
∴d=

a5-a2

3

=2，a1=1，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）
在已知T_n=2-b_n中，令n=1，得b₁=1
当n≥2时，T_n=2-b_n，T_n-1=2-b_n-1，两式相减得，b_n=b_n-1-b_n，
∴

bn

bn-1

=

1

2

(n≥2)，
∴bn=(

1

2

)n-1(n∈N*)
（Ⅱ）∵Sn=

n[1+(2n-1)]

2

=n2，则cn=(Sn-λ)•bn=(n2-λ)•(

1

2

)n-1
当n≥2时，cn-cn-1=(n2-λ)•(

1

2

)n-1-[(n-1)2-λ]•(

1

2

)n-2=

-n2+4n-2+λ

2n-1

∴c₆为数列{c_n}中的最大项，
∴有n≥7时，c_n-c_n-1≤0，
∴λ≤23，n≤6时，c_n-c_n-1≥0，
∴λ≥14
∴14≤λ≤23．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数列的单调性，确定数列的通项是关键．